１＋２＋３＋４＋・・・・・・＝−１／１２？

１から順番に数字を足していくと最終的にはー１／１２になるんだって
これは何を暗示してるんでしょうかね？

いくらお金貯めても最終的にはマイナスよってコト？

さてさて、検証してみましょうかね
間違えがあっても知りませんよ
数字好きの素人が、いろんなwebみて納得できた証明を自分なりに検証してみます

まず

Ｔ＝１＋２＋３＋４＋・・・
Ｓ＝１ー２＋３ー４＋・・・

と、勝手にします
ＳをＴの形で表したいから

Ｓ＝（１ー２＋３ー４＋・・・）
＝（１＋（２−４）＋３＋（４−８）＋５＋（６−１２）＋・・・）
＝（１＋２＋３＋４＋・・・）ー（４＋８＋１２＋１６＋・・・）
＝（１＋２＋３＋４＋・・・）ー４（１＋２＋３＋４＋・・・）

Ｔの形が出てきましたね！
よって

Ｓ＝Ｔー４Ｔ
＝ー３Ｔ

よって

Ｔ＝ー１／３Ｓ　　ーーーーーー　（１）

となります

ここで、またもや無理矢理

Ｐ＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋・・・（ｘの１乗＋ｘの２乗＋・・・ってことね）
Ｑ＝　　ーｘ２ーｘ３ーｘ４ー・・・
Ｒ＝ｘ１ーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・

とします
このあたりが面白いところ
作りたい形を予想して式をつくる
何かズルイ感じもしますけどこれでいいのだ

Ｐ＋Ｑ＝（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋・・・）＋（ーｘ２ーｘ３ーｘ４ー・・・）
＝ｘ　　ーーーーー（２）

一方

Ｐ＋Ｑ＝（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋・・・）＋（ーｘ２ーｘ３ーｘ４ー・・・）
＝（ｘーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・）＋（ｘ２ーｘ３＋ｘ４ー・・・）
＝（ｘーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・）＋ｘ（ｘーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・）

Ｐ＋ＱをＲの形で表したいからこんな風に変形させるの
Ｒ＝ｘ１ーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・だから

Ｐ＋Ｑ＝（Ｒ）＋ｘ（Ｒ）
＝Ｒ（１＋ｘ）　　ーーーーー（３）

となります

で、（２）と（３）より

ｘ＝Ｒ（１＋ｘ）　となります

Ｒ＝ｘ／（１＋ｘ）

Ｒは
Ｒ＝ｘ１ーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・
なので

ｘ１ーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・＝ｘ／（１＋ｘ）

となります

ここからが、問題なのよ！

両辺微分することにします
このあたりが難しいところで
いろいろ制約が出てくるんですが
まぁ、こんな計算もあるんだってぐらいでよろしく


ｘ１ーｘ２＋ｘ３ーｘ４＋・・・＝ｘ／（１＋ｘ）

両辺微分します


ｘー２ｘ＋３ｘ２ー４ｘ３＋・・・＝１／（１＋ｘ）²

となります

ここで最初にきめたＳの形にしたいので
とりあえず、ｘ＝１を代入します

１ー２＋３ー４＋・・・＝１／４

左辺はなぜかＳの形になってますねー！
どきどきしますねー！

Ｓ＝１／４　　ーーーーー（４）

ここで先ほどの（１）と（４）で

（１）　 Ｔ＝ー１／３Ｓ
（４）　Ｓ＝１／４　

Ｔ＝ー１／３・１／４
＝ー１／１２

Ｔは
Ｔ＝１＋２＋３＋４＋・・・
なので

１＋２＋３＋４＋・・・＝ー１／１２

となるわけです

うーーん
スバラシイ！


でも、もちろん
１から順番に足していったら無限大（∞）になるんですけどね

オイラー（1707--1783、スイス）さんが一生懸命勉強したそうです
無限級数の計算はオイラーの心を魅了してやみませんでした。
信じられない結果だと思います。
数学は答えが一つとよく言われますが、そうではないことをこの計算が教えてくれます。
1+2+3+…= ∞ と 1+2+3+…=ー1/12、どちらも正しいのです。

あーおもしろかった！